Inversa de la Matriz



Tal como \(1/a\) es el inverso de \(a\), y \(1/a*a=1\) (el inverso de un número multiplicado por sí mismo es 1), para las matrices estas mismas leyes también aplican, aunque con algunas diferencias importantes.

Para \(1/a*a=1\) se usa la notación A-1A = I o AA-1 = I, porque como habíamos dicho anteriormente, una matriz cuadrada multiplicada por su propia matriz inversa es igual a la matriz unitaria, no importa en qué orden se multiplique.

Para calcular la inversa de una matriz de 2x2 hacemos esto:

Paso 1


Tenemos una matriz A de 2x2:
    _     _
   |  a b  |
A= |  c d  |
   |_     _|



Primero multiplicamos los 2 puntos en el orden y apuntados por la flecha naranja (1x2) y después los 2 puntos en el orden y apuntados por la flecha verde (3x4).

Paso 2


Después los expresamos en la siguiente fórmula, que es la "determinante" (NO ES el valor absoluto?):
D = $$ {ad - bc}$$


Esto, expresado como matriz, es el inverso incluso al orden en que escribimos normalmente. Si usualmente escribimos la matriz de 2x2 de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, ahora empezamos de derecha a izquierda y de abajo hacia arriba, así:



Primero la flecha morada y luego la flecha gris, en el orden mostrado por los números.

Con respecto a los signos de los números, vemos que ad se están multiplicando como una cantidad positiva, pero bc se convertirán ambos en negativos porque están precedidos por un - (menos).

Así que nuestra matriz con letras original quedaría:

    _      _
   |  d -b  |
V= | -c  a  |
   |_      _|



Paso 3


El inverso de la matriz estaría dado por:

A-1 = $$ {1 \over ad - bc}$$
 _      _
|  d -b  |
| -c  a  |
|_      _|
















Con esto ahora, veamos un ejemplo:

     _       _
    |  -4  5  |
A = |   6 -7  |
    |_       _|


Paso 1: Ver cómo cruzar en x
Paso 2: El determinante

D = -4*-7-5*6 = 28-30 = -2

El determinante es -2

Y reubicar la matriz de forma "inversa" desde la esquina inferior derecha, hacia arriba y hacia la izquierda:

     _      _
    | -7  5  |
V = |  6 -4  |
    |_      _|




Paso 3: Integrar la fórmula y aplicar el signo a los elementos de la matriz.
A-1 = $$ {1 \over 28 - 30}$$
 _      _
| -7 -5  |
| -6 -4  |
|_      _|


Ahora multiplicar el determinante (un escalar) por la matriz. Suma de matriz por un escalar.

1/-2 = -0.5

A-1 = 0.5
 _      _
| -7 -5  |
| -6 -4  |
|_      _|


A-1 =
 _          _
|  3.5  2.5  |
|  3    2    |
|_          _|



Ahora, para comprobar si obtuvimos la matriz inversa correcta, simplemente efectuamos una multiplicación de matrices entre la matriz original A y nuestra matriz inversa A-1. De ser ese el caso, obtendremos una matriz de identidad de 2x2:

 _          _         _       _
|  3.5  2.5  |       |  -4  5  |
|  3    2    |   x   |   6 -7  |
|_          _|       |_       _|



3.5*-4+2.5*6 = 1
 _      _
|  1     |
|        |
|_      _|


3.5*5+2.5*-7 = 0
 _      _
|  1  0  |
|        |
|_      _|


3*-4+2*6 = 0
 _      _
|  1  0  |
|  0     |
|_      _|


3*5+2*-7 = 1
 _      _
|  1  0  |
|  0  1  |
|_      _|



Por lo tanto, nuestra respuesta es correcta.