Inversa de la Matriz 3x3



Tenemos esta matriz 3x3:


    _       _
   |  2 3 4  |
A= |  5 6 7  |
   |  8 9 0  |
   |_       _|



En este caso tenemos que sacar lo que se conoce como "matriz de menores".

Un menor es lo que queda al cruzar, por ejemplo, la fila 1 y la columna 1. La secuencia es esta:



Fila 1, Columna 1
 _       _
|  2 3 4  |
|  5 6 7  |
|  8 9 0  |
|_       _|
 _     _
|  6 7  |
|  9 0  |
|_     _|


Fila 1, Columna 2
 _       _
|  2 3 4  |
|  5 6 7  |
|  8 9 0  |
|_       _|
 _     _
|  5 7  |
|  8 0  |
|_     _|


Fila 1, Columna 3
 _       _
|  2 3 4  |
|  5 6 7  |
|  8 9 0  |
|_       _|
 _     _
|  5 6  |
|  8 9  |
|_     _|


Fila 2, Columna 1
 _       _
|  2 3 4  |
|  5 6 7  |
|  8 9 0  |
|_       _|
 _     _
|  3 4  |
|  9 0  |
|_     _|


Fila 2, Columna 2
 _       _
|  2 3 4  |
|  5 6 7  |
|  8 9 0  |
|_       _|
 _     _
|  2 4  |
|  8 0  |
|_     _|


Fila 2, Columna 3
 _       _
|  2 3 4  |
|  5 6 7  |
|  8 9 0  |
|_       _|
 _     _
|  2 3  |
|  8 9  |
|_     _|


Fila 3, Columna 1
 _       _
|  2 3 4  |
|  5 6 7  |
|  8 9 0  |
|_       _|
 _     _
|  3 4  |
|  6 7  |
|_     _|


Fila 3, Columna 2
 _       _
|  2 3 4  |
|  5 6 7  |
|  8 9 0  |
|_       _|
 _     _
|  2 4  |
|  5 7  |
|_     _|


Fila 3, Columna 3
 _       _
|  2 3 4  |
|  5 6 7  |
|  8 9 0  |
|_       _|
 _     _
|  2 3  |
|  5 6  |
|_     _|




Cada fila y columna corresponde a las posiciones de submatriz y finalmente determinantes que ocuparán en la matriz final, también de 3x3.

Así que descartamos todos los números que estén marcados con color, y solo nos queda una "sub-matriz" con los números restantes no coloreados, justo en el orden en que aparecen.

Después obtenemos el menor, o determinante de esta submatriz de 2x2, como vimos anteriormente. El caso de la primer combinación el determinante sería:

6*0-7*9 =

Una vez que sacamos la determinante de cada combinación en la posición indicada por el número en negrita, para cada resultado, tenemos nuestra "matriz de menores".

Ahora hay que convertir esta matriz de menores a una "matriz de cofactores", que básicamente consiste en aplicar la ley de los signos co los signos en el siguiente orden, una matriz de solo signos, a nuestra matriz de menores:

 _       _
|  + - +  |
|  - + -  |
|  + - +  |
|_       _|



Después, simplemente transponemos la matriz de cofactores resultante, lo que se conoce como "matriz adjunta" (adjoint matrix o adjugate matrix).

Ahora necesitamos obtener el determinante de la matriz original A. Para esto simplemente multiplicamos nuestra matriz original por su matriz de cofactores. Más exactamente, solo la primer fila de la matriz original A por la primer columna de su matriz de cofactores..

Después, para obtener la matriz inversa, usamos esta fórmula:

A-1 = $$ {1 \over |A|}$$Adj(A)